Hàm số lũy thừa thuộc chương 2 của đại số toán 12. Ở bài học dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản thế nào là hàm lũy thừa, các công thức cần nhờ về tập xác định đạo hàm và một vài dạng toán thường gặp trong các đề thi. Ngoài ra, cuối bài giảng VerbaLearn còn giúp bạn đọc tổng hợp một số tài liệu có lời giải hay nhất cho mảng kiến thức này.
Định nghĩa về hàm số luỹ thừa
Định nghĩa: Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định: Có 3 trường hợp về TXĐ
– D = ℝ nếu α là số nguyên dương.
– D = ℝ \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0
– D = (0; +∞) với α không nguyên.
Đạo hàm: Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)’ = α․xα-1
Tính chất của hàm số luỹ thừa
Phân dạng bài tập hàm số lũy thừa
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa
Phương pháp giải
Xét hàm số y = [f(x)]α:
– Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x)xác định.
– Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≠ 0.
– Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) > 0.
Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức chỉ xảy ra nếu x > 0. Do đó hàm số không đồng nhất với hàm số (n ∈ ℕ*)
Như vậy, cần nhớ lại:
, (n ∈ ℕ*): Hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≥ 0.
, (n ∈ ℕ*): Hàm số xác định khi f(x) xác định.
Bài tập ví dụ
Ví dụ 1. Với x là số thực tuỳ ý, xét các mệnh đề sau
1) xn = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1)
2) (2x – 1)0 = 1
3)
4)
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
Lời giải
Chọn C
Ta thấy xn = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1) là mệnh đề đúng.
Ta thấy (2x – 1)0 = 1 là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 2x – 1 ≠ 0
Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 4x + 1 ≠ 0
Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện .
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x2 – 1)-2
A. D = ℝ
B. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
C. D = (-1; 1)
D. D = ℝ \ {±1}
Lời giải
Chọn D
Hàm số y = (x2 – 1)-2 có số mũ là số nguyên âm nên xác định khi x2 – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1.
Vậy D = ℝ \ {±1} là tập xác định của hàm số đã cho.
Ví dụ 3. Tập xác định của hàm số y = (x2 + x – 12)-3 là
A. D = (-4; 3)
B. D = ℝ \ {-4; 3}
C. D = ℝ \ (-4; 3)
D. D = (-∞; -4) ∪ (3; +∞)
Lời giải
Chọn B
Do số mũ là số nguyên âm nên ta có điều kiện x2 + x – 12 ≠ 0
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ \ {-4; 3}
Ví dụ 4. Hàm số y = (4x2 – 1)-4 có tập xác định là
A. D = [0; +∞)
B.
C. D = ℝ
D.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: 4x2 – 1 ≠ 0 nên tập xác định của hàm số là
Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số y = x(sin2020π) là
A. D = ℝ
B. D = (0; +∞)
C. D = ℝ \ {0}
D. D = [0; +∞)
Lời giải
Chọn C
Ta có y = x(sin2020π) = x0 nên tập xác định là D = ℝ \ {0}
Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2π – 3
A. D = ℝ
B. D = (0; +∞)
C. D = ℝ \ {0}
D. D = [0; +∞)
Lời giải
Chọn B
Hàm số y = x2π – 3 có số mũ không nguyên nên xác định khi x > 0.
Vậy tập xác định D = (0; +∞)
Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số là
A. D = [2; +∞)
B. D = (2; +∞)
C. D = (-∞; 2)
D. D = (-∞; 2]
Lời giải
Chọn C
Hàm số có số mũ không nguyên nên xác định khi 2 – x > 0 ⇔ x < 2
Vậy tập xác định là D = (-∞; 2)
Ví dụ 8: Tìm tập xác định D của hàm số
A. D = (-5; -1) ∪ (1; 5)
B. D = [-5; -1) ∪ (1; 5]
C. D = [-5; 5]
D. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định là D = [-5; -1) ∪ (1; 5]
Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm số
A. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}
B. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞)
C. D = (1; 3)
D. D = [1; 3]
Lời giải
Chọn A
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định là D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}
Ví dụ 10. Tìm tập xác định D của hàm số
A D = (-5; 5) \ {3}
B D = (-5; 5) \ {±3}
C D = [-5; 5]
D D = (-5; 5) \ {-3}
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định là D = (-5; 5) \ {±3}
Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa
Ví dụ 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau.
a) y = x9
b) y = x-4
c)
d)
Lời giải
a) TXĐ: D = ℝ. y’ = 9x8
b) TXĐ: D = ℝ \ {0}.
c) TXĐ: D = (1; +∞).
d) TXĐ:
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) trên [3; 15]
b) trên [0; 1]
Lời giải
a) , ∀ x ∈ [3; 15] ⇒ Hàm số luôn ĐB trên [3; 15]
Vậy
b) , ∀ x ∈ [0; 1] ⇒ Hàm số luôn NB trên [0; 1]
Vậy
Ví dụ 3. Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho có tập xác định D = (0; +∞) nên loại đáp án A và C.
Vì nên chọn đáp án B.
Ví dụ 4. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x tại một điểm. Tìm tọa độ điểm giao điểm đó.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm
Vậy tọa độ giao điểm là
Ví dụ 5. Cho α là một số thực và hàm số H39 đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. α < 1
B.
C.
D. α > 1
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết, hàm số đồng biến trên (0; +∞) nên
y’ > 0, ∀ x ∈ (0; +∞)
Ví dụ 6. Cho hàm số (C): . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 có hoành độ x0 = 1
A .
B.
C. y = πx – π + 1
D.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: D = (0; +∞)
và y0 = y (1) = 1
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 có dạng:
Ví dụ 7. Hình vẽ dưới đây là đồ thị các hàm số y = xa, y = xb, y = xc trên miền (0; +∞). Hỏi trong các số a,b,c số nào nhận giá trị trong khoảng (0;1)?
A. Số b
B. Số a và số c
C. Số c
D. Số a
Lời giải
Chọn C
Sử dụng hình vẽ dưới đây để trả lời 3 câu hỏi bên dưới. Hình vẽ này là đồ thị của hàm số .
Ví dụ 8. Hỏi đồ thị của hàm số là hình nào?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án A.
Ví dụ 9: Hỏi đồ thị của hàm số là hình nào?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án C.
Ví dụ 10: Hỏi đồ thị của hàm số là hình nào
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đồ thị của hàm số là hình ở đáp án B.